不動点を探して(前編:原始的に考える)

前回のページの蜘蛛の巣図は、初期値から始まってある点に収束していきました。その点に到着すると、Xn+1=Xnとなりそこから動かなくなります。ここで、関数fを用いてXn+1=f(Xn)と表される関係があるとき、
X=f(X)
を満たすようなX不動点と呼びます。例えば、
Xn+1=0.02(100Xn)Xn

という関係があるとき、f(Xn)=0.02(100Xn)Xnとして不動点を求めると
X=f(X)=0.02(100X)X
より
0.02(50X)X=0X=0,50
不動点はX=0、もしくはX=50であることが分かります。つまりある0以上の整数Nを持ってきてXN=0とすると、XN+1=0XN+2=0、...となり、XN=50とすると、XN+1=50XN+2=50、...となります。

しかし、X0=20X0=80から始めるとどちらもX=50に収束してゆきます。
何故かX=0には収束しません。調べてみます。

不動点Xから微小量ϵだけズレた点X+ϵはどんな風に変化するか考えてみます。XN=X+ϵとすると
XN+1=f(XN)=0.02(100XN)XN=0.02(100(X+ϵ))(X+ϵ)=0.02(100X)X+0.02(1002X)ϵ0.02ϵ2
ここでXは不動点なのでX=0.02(100X)Xとすると、

XN+1=X+0.02(1002X)ϵ0.02ϵ2

このXN+1XNと比べてどれくらい不動点Xに近づいた、もしくは遠ざかったのでしょうか。次のように

XN+1と不動点Xとの距離)/(XNと不動点Xとの距離) =|XN+1X||XNX|

を考えます。
|XN+1X||XNX|=|0.02(1002X)ϵ0.02ϵ2ϵ|=|0.02(1002X)0.02ϵ|
X=50の時
|XN+1X||XNX|=|00.02ϵ|=0.02|ϵ|
ϵは微小量なので、0.02|ϵ|<1とすると、
|XN+1X||XNX|<1|XNX|>|XN+1X|
これはXN+1XNより不動点X=50との距離が小さいことを意味します。さらに、 |XN+1X|>|XN+2X||XN+2X|>|XN+3X|、...なのでnの値が大きくなればなるほどXnは不動点X=50に近づくことが分かります。

X=0の時
|Xn+1X||XnX|=|20.02ϵ|
ϵは微小量なので、|20.02ϵ|>1とすると、
|XN+1X||XNX|>1|XNX|<|XN+1X|
これはXN+1XNより不動点X=0との距離が大きいことを意味します。さらに、 |XN+1X|<|XN+2X||XN+2X|<|XN+3X|、...なのでnの値が大きくなればなるほどXnは不動点X=0から遠ざかることが分かります。

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