不動点を探して(前編:原始的に考える)
前回のページの蜘蛛の巣図は、初期値から始まってある点に収束していきました。その点に到着すると、
X
n
+
1
=
X
n
となりそこから動かなくなります。ここで、関数
f
を用いて
X
n
+
1
=
f
(
X
n
)
と表される関係があるとき、
X
=
f
(
X
)
を満たすような
X
を
不動点
と呼びます。例えば、
X
n
+
1
=
0.02
(
100
−
X
n
)
X
n
という関係があるとき、
f
(
X
n
)
=
0.02
(
100
−
X
n
)
X
n
として不動点を求めると
X
=
f
(
X
)
=
0.02
(
100
−
X
)
X
より
0.02
(
50
−
X
)
X
=
0
X
=
0
,
50
不動点は
X
=
0
、もしくは
X
=
50
であることが分かります。つまりある
0
以上の整数
N
を持ってきて
X
N
=
0
とすると、
X
N
+
1
=
0
、
X
N
+
2
=
0
、...となり、
X
N
=
50
とすると、
X
N
+
1
=
50
、
X
N
+
2
=
50
、...となります。
しかし、
X
0
=
20
や
X
0
=
80
から始めるとどちらも
X
=
50
に収束してゆきます。
何故か
X
=
0
には収束しません。調べてみます。
不動点
X
から微小量
ϵ
だけズレた点
X
+
ϵ
はどんな風に変化するか考えてみます。
X
N
=
X
+
ϵ
とすると
X
N
+
1
=
f
(
X
N
)
=
0.02
(
100
−
X
N
)
X
N
=
0.02
(
100
−
(
X
+
ϵ
)
)
(
X
+
ϵ
)
=
0.02
(
100
−
X
)
X
+
0.02
(
100
−
2
X
)
ϵ
−
0.02
ϵ
2
ここで
X
は不動点なので
X
=
0.02
(
100
−
X
)
X
とすると、
X
N
+
1
=
X
+
0.02
(
100
−
2
X
)
ϵ
−
0.02
ϵ
2
この
X
N
+
1
は
X
N
と比べてどれくらい不動点
X
に近づいた、もしくは遠ざかったのでしょうか。次のように
(
X
N
+
1
と不動点
X
との距離)/(
X
N
と不動点
X
との距離) =
|
X
N
+
1
−
X
|
|
X
N
−
X
|
を考えます。
|
X
N
+
1
−
X
|
|
X
N
−
X
|
=
|
0.02
(
100
−
2
X
)
ϵ
−
0.02
ϵ
2
ϵ
|
=
|
0.02
(
100
−
2
X
)
−
0.02
ϵ
|
X
=
50
の時
|
X
N
+
1
−
X
|
|
X
N
−
X
|
=
|
0
−
0.02
ϵ
|
=
0.02
|
ϵ
|
ϵ
は微小量なので、
0.02
|
ϵ
|
<
1
とすると、
|
X
N
+
1
−
X
|
|
X
N
−
X
|
<
1
|
X
N
−
X
|
>
|
X
N
+
1
−
X
|
これは
X
N
+
1
が
X
N
より不動点
X
=
50
との距離が小さいことを意味します。さらに、
|
X
N
+
1
−
X
|
>
|
X
N
+
2
−
X
|
、
|
X
N
+
2
−
X
|
>
|
X
N
+
3
−
X
|
、...なので
n
の値が大きくなればなるほど
X
n
は不動点
X
=
50
に近づくことが分かります。
X
=
0
の時
|
X
n
+
1
−
X
|
|
X
n
−
X
|
=
|
2
−
0.02
ϵ
|
ϵ
は微小量なので、
|
2
−
0.02
ϵ
|
>
1
とすると、
|
X
N
+
1
−
X
|
|
X
N
−
X
|
>
1
|
X
N
−
X
|
<
|
X
N
+
1
−
X
|
これは
X
N
+
1
が
X
N
より不動点
X
=
0
との距離が大きいことを意味します。さらに、
|
X
N
+
1
−
X
|
<
|
X
N
+
2
−
X
|
、
|
X
N
+
2
−
X
|
<
|
X
N
+
3
−
X
|
、...なので
n
の値が大きくなればなるほど
X
n
は不動点
X
=
0
から遠ざかることが分かります。
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