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以下の文章ではEinsteinの縮約が使われています。
連続体力学や電磁気学を勉強すると「Levi-Civitaの記号」なるものと出くわします。使い慣れるとなかなか便利な記号ですが、使いこなすために |
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という恒等式を知っておく必要があります。ただしこの恒等式の証明がやたらと厄介で、本を読むとやけに技巧的な証明だけが載っており、初学者にはまず意味不明です（それとも私だけか...）。というわけでこの式の泥臭い証明を考えてみます。
方針としては左辺のijkとilmに注目して場合分けを行ってから取り組もうと思います。 よって |
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として
i) \(j=k\) かつ \(l\neq m\) のとき |
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(左辺) \(= 0\) (右辺) \(= \delta_{jl} \delta_{jm} -\delta_{jm} \delta_{jl}=0\) よって (左辺) \(=\) (右辺) |
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ii) \(j\neq k\) かつ \(l=m\) |
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i)と同様にして (左辺) \(=\) (右辺) |
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iii) \(j=k\) かつ \(l=m\) |
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(左辺) \(= 0\) (右辺) \(= \delta_{jl} \delta_{jl} -\delta_{jl} \delta_{jl}=0\) よって (左辺) \(=\) (右辺) |
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iv) は、以下の4つに場合分けできる |
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iv-A) \(j\) < \(k\) かつ \(l\) < \(m\) のとき |
| 以下のような表を作る |
| 添え字 | 式の値 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| j | k | l | m | 左辺 | 右辺 |
| 1 | 2 | 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 3 | ||
| 1 | 2 | 2 | 3 | ||
| 1 | 3 | 1 | 2 | ||
| 1 | 3 | 1 | 3 | ||
| 1 | 3 | 2 | 3 | ||
| 2 | 3 | 1 | 2 | ||
| 2 | 3 | 1 | 3 | ||
| 2 | 3 | 2 | 3 | ||
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添字\(j\), \(k\), \(l\), \(m\)に数字を代入して式の値を求める。例えば、 \(j=l=1\) かつ \(k=m=2\) のとき (左辺) \(= \epsilon_{i12} \epsilon_{i12} = 0\cdot 0 + 0\cdot 0 +1 \cdot 1 = 1\) (右辺) \(= \delta_{11} \delta_{22} -\delta_{12} \delta_{21}=1\) この様にして表を完成させるとすべての場合で (左辺) \(=\) (右辺) が成り立つ |
| 添え字 | 式の値 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| j | k | l | m | 左辺 | 右辺 |
| 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 1 | 3 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 2 | 3 | 0 | 0 |
| 1 | 3 | 1 | 2 | 0 | 0 |
| 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 2 | 3 | 0 | 0 |
| 2 | 3 | 1 | 2 | 0 | 0 |
| 2 | 3 | 1 | 3 | 0 | 0 |
| 2 | 3 | 2 | 3 | 1 | 1 |
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iv-B) \(j\) < \(k\) かつ \(l\) > \(m\) のとき |
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\(m=L\), \(l=M\)とおけばiv-A)と同様に (左辺) \(=\) (右辺) が成り立つ |
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iv-C) \(j\) > \(k\) かつ \(l\) < \(m\) のとき |
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\(k=J\), \(j=K\)とおけばiv-A)と同様に (左辺) \(=\) (右辺) が成り立つ |
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iv-D) \(j\) > \(k\) かつ \(l\) > \(m\) のとき |
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\(k=J\), \(j=K\), \(m=L\), \(l=M\)とおけばiv-A)と同様に (左辺) \(=\) (右辺) が成り立つ |
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i),ii),iii),iv)より証明終了 以上のように証明できたものの、この式の証明は一人一人が考えてみるのがよいでしょう。ただし結構しんどいです。 |