sin(2016°)

まずsin(x)を冪級数になおす。

\(\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dotsb\)


次に2016\(^\circ\)をradianになおす。

\(2016^\circ\div180\times\pi =11.2\pi\)　（あれ？割り切れる！）

今年が2017年とかじゃなかったことに感謝（合掌)。


あっさり終了かと思いきや11.2\(\pi\) って暗算で大体34だから

\(\sin(11.2\pi)\approx\sin(34)=34-\frac{34^3}{3!}+\frac{34^5}{5!}-\dotsb\)

上式の「...」部分がなかなか収束せず失敗。


というわけで\(\sin(x)\)のxが0<x<1になるように工夫する。 ...加法定理でどうか？

\(\sin(11.2\pi)=\sin(11\pi)\cos(0.2\pi)+\cos(11\pi)\sin(0.2\pi)=-\sin(0.2\pi)\)

これなら良さそう。

\(0.2\pi \approx 0.628\)だから\(\frac{(0.2\pi)^5}{5!}\)以下は無視。よって以下の回答が出来る。

（回答終わり)


ここで実際の \(\sin(2016^\circ)\) を見てみる。

\(\sin(2016^\circ)=-0.587785...\)

相対誤差として以下を計算する。
\begin{align*} \left| \frac{-0.586978-(-0.587785)}{-0.587785} \right| \approx 0.00120 \end{align*}
よって今回の近似ではそれなりに満足の行く結果を得ることが出来たと思われる。（完）

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